संख्या श्रृंखला (Number Series) – Complete Master Tutorial
कम्पेटिटिव एग्जाम्स (SSC, Railway, Banking, CGPSC, Vyapam) के Reasoning सेक्शन में संख्या श्रृंखला (Number Series) एक अत्यंत महत्वपूर्ण और उच्च-अंक वाला टॉपिक है। इस आर्टिकल में हम श्रृंखला को हल करने की शॉर्टकट ट्रिक्स, महत्वपूर्ण पैटर्न्स (वर्ग, घन, गुणा-भाग) और प्रश्नों को 10 Solved Examples के साथ विस्तार से समझेंगे।
1. नंबर सीरीज के मुख्य पैटर्न्स (Common Series Patterns)
परीक्षा में पूछे जाने वाले लगभग 95% सवाल नीचे दिए गए पैटर्न्स में से ही किसी एक पर आधारित होते हैं। इन्हें बिना किसी गलती के हल करने के लिए निम्नलिखित नियमों को ध्यान में रखें:
- 1. अंतर श्रृंखला (Difference Series): जब संख्याएं धीरे-धीरे बढ़ रही हों या घट रही हों, तो हमेशा उनके बीच का ‘अंतर’ (Step-Difference) निकालें।
- 2. गुणा/भाग श्रृंखला (Multiplication/Division Series): जब संख्याएं बहुत तेजी से बढ़ें (जैसे 5 के बाद सीधे 25, फिर 120), तो वह गुणा आधारित श्रृंखला होती है।
- 3. वर्ग और घन श्रृंखला (Square & Cube Series): श्रृंखला के पद पूर्ण वर्ग (
n²) या पूर्ण घन (n³) के रूप में होते हैं, या फिर उनके निकटतम (n² ± 1/n³ ± 1) होते हैं। - 4. एकांतर श्रृंखला (Alternate Series): इसमें एक ही सीरीज के अंदर दो अलग-अलग श्रृंखलाएं चल रही होती हैं (एक-एक पद छोड़कर लॉजिक लगता है)।
2. संख्या श्रृंखला के प्रकार और हल किए गए उदाहरण (All Main Types)
परीक्षाओं में मुख्य रूप से दो प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं। आइए दोनों के 5-5 महत्वपूर्ण उदाहरणों को स्टेप-बाय-स्टेप समझते हैं:
प्रकार 1: लुप्त संख्या ज्ञात करना (Finding the Missing Number)
इसमें श्रृंखला के बीच में या अंत में एक प्रश्नवाचक चिन्ह [ ? ] दिया होता है, जिसके स्थान पर आने वाली सही संख्या ढूंढनी होती है.
श्रृंखला में अगला पद क्या होगा: 4, 7, 12, 19, 28, ?
1. सबसे पहले कतार की संख्याओं के बीच का अंतर (Difference) निकालें:
– 4 से 7 जाने में: +3
– 7 से 12 जाने में: +5
– 12 से 19 जाने में: +7
– 19 से 28 जाने में: +9
2. लॉजिक पहचानें: अंतर लगातार विषम संख्याओं (Odd Numbers) का चल रहा है: +3, +5, +7, +9…
3. अगला अंतर +11 होना चाहिए। अतः अगला पद: 28 + 11 = 39 होगा।
उत्तर: 39
श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए: 2, 6, 14, 30, 62, ?
1. यहाँ संख्याएं तेजी से बढ़ रही हैं। गुणा का पैटर्न चेक करें:
– 2 × 2 + 2 = 6
– 6 × 2 + 2 = 14
– 14 × 2 + 2 = 30
– 30 × 2 + 2 = 62
2. लॉजिक पहचानें: प्रत्येक संख्या को 2 से गुणा करके 2 जोड़ा जा रहा है (×2 + 2 का पैटर्न)।
3. अगला पद: 62 × 2 + 2 = 124 + 2 = 126 होगा।
उत्तर: 126
श्रृंखला का अगला पद क्या होगा: 1, 9, 25, 49, 81, ?
1. संख्याओं को ध्यान से देखने पर पता चलता है कि ये सभी पूर्ण वर्ग हैं:
– 1 = 1²
– 9 = 3²
– 25 = 5²
– 49 = 7²
– 81 = 9²
2. लॉजिक पहचानें: यह लगातार विषम संख्याओं (Odd Numbers) के वर्ग की श्रृंखला है।
3. विषम संख्या 9 के बाद अगली विषम संख्या 11 होती है। अतः अगला पद: 11² = 121 होगा।
उत्तर: 121
श्रृंखला में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए: 5, 6, 14, 45, 184, ?
1. यह एक मिक्स्ड एडवांस गुणा श्रृंखला है:
– 5 × 1 + 1 = 6
– 6 × 2 + 2 = 14
– 14 × 3 + 3 = 45
– 45 × 4 + 4 = 184
2. लॉजिक पहचानें: गुणा और जोड़ने वाली संख्याएं क्रमिक रूप से बढ़ रही हैं (×n + n का पैटर्न)।
3. अगला पद: 184 × 5 + 5 = 920 + 5 = 925 होगा।
उत्तर: 925
श्रृंखला में प्रश्नवाचक चिन्ह के स्थान पर क्या आएगा: 10, 15, 12, 19, 14, 23, ?, ?
1. यहाँ संख्याएं एक बार बढ़ रही हैं और फिर घट रही हैं। यह एक **एकांतर श्रृंखला (Alternate Series)** है, जिसमें दो सीरीज आपस में मिक्स हैं।
2. पहली सीरीज (विषम स्थान वाले पद): 10 → 12 → 14 → ? (यहाँ +2, +2 का पैटर्न है)। अतः अगला पद 14 + 2 = 16 होगा।
3. दूसरी सीरीज (सम स्थान वाले पद): 15 → 19 → 23 → ? (यहाँ +4, +4 का पैटर्न है)। अतः उसके बाद वाला पद 23 + 4 = 27 होगा।
उत्तर: 16 और 27
प्रकार 2: गलत संख्या ज्ञात करना (Finding the Wrong Number)
इसमें श्रृंखला के सभी पद दिए होते हैं, लेकिन कोई एक संख्या श्रृंखला के निर्धारित नियम (Logic) का पालन नहीं करती। आपको उस **गलत संख्या** को पहचानना होता है.
दी गई श्रृंखला में गलत संख्या पहचानिए: 3, 5, 9, 17, 32, 65
1. श्रृंखला का सामान्य पैटर्न चेक करें:
– 3 × 2 — 1 = 5
– 5 × 2 — 1 = 9
– 9 × 2 — 1 = 17
– 17 × 2 — 1 = 33 (लेकिन सीरीज में यहाँ 32 लिखा है)।
2. यदि 32 के स्थान पर 33 रखें, तो अगला पद: 33 × 2 — 1 = 65 आता है, जो कि बिल्कुल सही है।
उत्तर: 32 (सही संख्या 33 होनी चाहिए थी)
दी गई श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है: 125, 64, 27, 9, 1
1. संख्याओं को ध्यान से देखने पर पता चलता है कि ये पूर्ण घन (Cubes) हैं:
– 125 = 5³
– 64 = 4³
– 27 = 3³
– 1 = 1³
2. इस पैटर्न के अनुसार 9 के स्थान पर 2³ = 8 होना चाहिए था। 9 एक वर्ग है (3²), जो इस घन श्रृंखला के नियम को तोड़ता है।
उत्तर: 9 (सही संख्या 8 होनी चाहिए थी)
दी गई श्रृंखला में गलत पद ज्ञात कीजिए: 10, 20, 40, 80, 150, 320
1. श्रृंखला का गुणा पैटर्न चेक करें:
– 10 × 2 = 20
– 20 × 2 = 40
– 40 × 2 = 80
– 80 × 2 = 160 (लेकिन श्रृंखला में 150 लिखा है)।
2. यदि 150 की जगह 160 मानें, तो अगला पद 160 × 2 = 320 आता है, जो कि कतार में सही दिया है।
उत्तर: 150 (सही संख्या 160 होनी चाहिए थी)
श्रृंखला में गलत संख्या पहचानिए: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13
1. प्राथमिकता क्रम (Priority Order) के अनुसार सबसे पहले अभाज्य संख्या (Prime Numbers) का लॉजिक देखें।
2. संख्याएं 2, 3, 5, 7, 11, और 13 सभी अभाज्य संख्याएं हैं।
3. लेकिन 9 एक भाज्य संख्या (Composite Number) है जो 3 से विभाजित होती है। यह अभाज्य संख्याओं की कतार में गलत पद है।
उत्तर: 9 (यह अभाज्य नहीं है)
दी गई श्रृंखला में गलत संख्या क्या है: 4, 9, 19, 39, 79, 149
1. श्रृंखला का लॉजिक चेक करें:
– 4 × 2 + 1 = 9
– 9 × 2 + 1 = 19
– 19 × 2 + 1 = 39
– 39 × 2 + 1 = 79
– 79 × 2 + 1 = 159 (लेकिन श्रृंखला में 149 लिखा है)।
उत्तर: 149 (सही संख्या 159 होनी चाहिए थी)
3. मेगा अभ्यास क्विज: संख्या श्रृंखला (30 Important MCQs)
नीचे दिए गए दोनों प्रकारों के 30 प्रश्नों को खुद से हल करें और ‘उत्तर देखें’ बटन पर क्लिक करके सही लॉजिक समझें:
प्रकार 1: लुप्त संख्या ज्ञात करना (15 प्रश्न)
Q1. श्रृंखला में अगला पद क्या होगा: 5, 9, 17, 33, 65, ?
A) 129
B) 130
C) 131
D) 128
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ
×2 — 1 का पैटर्न चल रहा है। 5×2-1=9, 9×2-1=17… इसी प्रकार 65×2-1=129 होगा। (वैकल्पिक लॉजिक: अंतर +4, +8, +16, +32, +64 का है)।Q2. श्रृंखला में प्रश्नवाचक चिन्ह (?) के स्थान पर क्या आएगा: 1, 4, 9, 16, 25, ?
A) 30
B) 36
C) 42
D) 49
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यह लगातार प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग की श्रृंखला है:
1², 2², 3², 4², 5²। अगला पद 6² = 36 होगा।Q3. श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: 10, 12, 16, 24, 40, ?
A) 60
B) 64
C) 72
D) 76
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: संख्याओं के बीच का अंतर दोगुना हो रहा है: +2, +4, +8, +16। अगला अंतर +32 होगा, अतः
40 + 32 = 72।Q4. श्रृंखला में लुप्त संख्या क्या होगी: 3, 6, 18, 72, 360, ?
A) 1080
B) 1440
C) 1800
D) 2160
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: क्रमिक रूप से गुणा का पैटर्न बढ़ रहा है:
×2, ×3, ×4, ×5। अगला पद 360 × 6 = 2160 होगा।Q5. श्रृंखला को पूरा कीजिए: 2, 9, 28, 65, 126, ?
A) 217
B) 216
C) 215
D) 218
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ पूर्ण घन में 1 जोड़ा जा रहा है (
n³ + 1 का पैटर्न)। 1³+1=2, 2³+1=9, 3³+1=28… अगला पद 6³ + 1 = 216 + 1 = 217 होगा।Q6. श्रृंखला में लुप्त पद ज्ञात कीजिए: 7, 10, 16, 25, 37, ?
A) 50
B) 52
C) 54
D) 56
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: संख्याओं के बीच का अंतर 3 की टेबल में बढ़ रहा है: +3, +6, +9, +12। अगला अंतर +15 होगा, अतः
37 + 15 = 52।Q7. श्रृंखला का अगला पद क्या होगा: 100, 99, 95, 86, 70, ?
A) 40
B) 43
C) 45
D) 49
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: संख्याओं के बीच लगातार पूर्ण वर्ग घट रहे हैं:
-1², -2², -3², -4²। अगला पद 70 - 5² = 70 - 25 = 45 होगा।Q8. श्रृंखला में (?) के स्थान पर क्या आएगा: 0, 6, 24, 60, 120, ?
A) 180
B) 210
C) 216
D) 240
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ पैटर्न
n³ — n लागू है। 1³-1=0, 2³-2=6, 3³-3=24… अगला पद 6³ - 6 = 216 - 6 = 210 होगा।Q9. एकांतर श्रृंखला को पूरा कीजिए: 4, 15, 8, 20, 12, 25, ?, ?
A) 14, 30
B) 16, 30
C) 16, 35
D) 15, 30
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: दो अल्टरनेट सीरीज मिक्स हैं। पहली सीरीज (4, 8, 12, ?) में +4, +4 चल रहा है, तो अगला पद 16 होगा। दूसरी सीरीज (15, 20, 25, ?) में +5, +5 चल रहा है, तो अगला पद 30 होगा।
Q10. श्रृंखला में लुप्त पद ज्ञात कीजिए: 6, 13, 28, 59, ?
A) 120
B) 121
C) 122
D) 118
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ
×2 + 1, ×2 + 2, ×2 + 3 का क्रमिक पैटर्न है। 6×2+1=13, 13×2+2=28, 28×2+3=59। अगला पद 59 × 2 + 4 = 118 + 4 = 122 होगा।Q11. श्रृंखला में अगला पद क्या होगा: 2, 3, 5, 7, 11, ?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 17
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यह लगातार अभाज्य संख्याओं (Prime Numbers) की श्रृंखला है। 11 के बाद अगली अभाज्य संख्या 13 होती है।
Q12. श्रृंखला का अगला पद क्या होगा: 3, 4, 12, 48, ?
A) 144
B) 240
C) 576
D) 192
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: प्रत्येक संख्या अपने पिछले पद से गुणा होकर अगला पद बना रही है:
3×4=12, 4×12=48। अगला पद 12 × 48 = 576 होगा।Q13. श्रृंखला में लुप्त पद ज्ञात कीजिए: 90, 80, 71, 63, 56, ?
A) 48
B) 50
C) 52
D) 49
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: घटते क्रम में अंतर कम हो रहा है: -10, -9, -8, -7। अगला अंतर -6 होगा, अतः
56 - 6 = 50।Q14. श्रृंखला का अगला पद क्या होगा: 12, 21, 23, 32, 34, ?
A) 41
B) 43
C) 45
D) 40
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ अंकों को आपस में पलटने और जोड़ने का मिश्रित पैटर्न है, या सीधा अंतर पैटर्न देखें: +9, +2, +9, +2। अगला अंतर +9 होगा, अतः
34 + 9 = 43 (तथा 43 को उलटने पर 34 बनता है)।Q15. श्रृंखला को पूरा करें: 2, 12, 36, 80, 150, ?
A) 250
B) 252
C) 260
D) 242
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ एडवांस पैटर्न
n³ + n² चल रहा है। 1³+1²=2, 2³+2²=12, 3³+3²=36… इसी प्रकार अगला पद 6³ + 6² = 216 + 36 = 252 होगा।प्रकार 2: गलत संख्या ज्ञात करना (15 प्रश्न)
Q16. दी गई श्रृंखला में गलत संख्या पहचानिए: 4, 9, 16, 25, 35, 49
A) 35
B) 16
C) 25
D) 49
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यह पूर्ण वर्ग संख्याओं की श्रृंखला है:
2², 3², 4², 5², 6², 7²। यहाँ 35 लिखा है, जबकि 6² = 36 होना चाहिए था।Q17. श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है: 3, 7, 15, 31, 64, 127
A) 15
B) 31
C) 64
D) 127
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ
×2 + 1 का नियम है। 3×2+1=7, 15×2+1=31, तो अगला पद 31 × 2 + 1 = 63 होना चाहिए था, मगर कतार में 64 लिखा है।Q18. दी गई श्रृंखला में गलत पद क्या है: 1, 8, 27, 64, 100, 216
A) 8
B) 64
C) 100
D) 216
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यह पूर्ण घनों (Cubes) की श्रृंखला है:
1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³। यहाँ 100 लिखा है जो वर्ग है, जबकि 5³ = 125 होना चाहिए था।Q19. श्रृंखला में गलत संख्या का चयन कीजिए: 5, 10, 17, 26, 37, 51
A) 17
B) 26
C) 37
D) 51
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ पैटर्न
n² + 1 का है। 2²+1=5, 3²+1=10, 4²+1=17… अंत में 7² + 1 = 49 + 1 = 50 होना चाहिए था, मगर 51 लिखा है।Q20. निम्नलिखित श्रृंखला में गलत पद ज्ञात कीजिए: 2, 4, 12, 48, 240, 1450
A) 12
B) 48
C) 240
D) 1450
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: कतार गुणा क्रम में बढ़ रही है:
×2, ×3, ×4, ×5। अगला पद 240 × 6 = 1440 होना चाहिए था, मगर श्रृंखला में 1450 अंकित है।Q21. श्रृंखला में असंगत संख्या पहचानिए: 10, 15, 22, 31, 43, 55
A) 22
B) 31
C) 43
D) 55
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याओं का अंतर जोड़ा जा रहा है: +5, +7, +11, +13। इस प्रकार
31 + 11 = 42 होना चाहिए था, यहाँ 43 गलत है। यदि 42 रखें तो 42 + 13 = 55 सही बैठता है।Q22. दी गई श्रृंखला में गलत संख्या क्या है: 121, 143, 165, 186, 209
A) 143
B) 165
C) 186
D) 209
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: इस श्रृंखला की प्रत्येक संख्या 11 का गुणज (Multiple of 11) है। 186 संख्या 11 से विभाजित नहीं होती, यहाँ 187 होना चाहिए था (अंतर +22 का चल रहा है)।
Q23. श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत है: 6, 12, 21, 32, 45, 62
A) 12
B) 32
C) 45
D) 62
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: अंतर लगातार विषम संख्याओं का बढ़ रहा है: +6, +9, +11, +13। अगला अंतर +15 होना चाहिए, जिससे
45 + 15 = 60 आना चाहिए था, मगर 62 लिखा है।Q24. श्रृंखला में गलत पद का चयन कीजिए: 80, 40, 20, 10, 5, 2. drama… शुद्ध सुधार: 2.5
A) 40
B) 20
C) 5
D) 2
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: प्रत्येक पद को 2 से भाग दिया जा रहा है (÷2 का पैटर्न)। 80 के बाद 40, 20, 10, 5 और अंत में
5 ÷ 2 = 2.5 आना चाहिए था, मगर श्रृंखला में 2 लिखा हुआ है।Q25. दी गई श्रृंखला में गलत संख्या पहचानिए: 1, 2, 5, 14, 41, 124
A) 14
B) 41
C) 124
D) 5
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: संख्याओं के बीच का अंतर 3 की गुणात्मक घात में बढ़ रहा है: +1, +3, +9, +27, +81। इस प्रकार अंतिम पद
41 + 81 = 122 होना चाहिए था, मगर यहाँ 124 लिखा है।Q26. श्रृंखला में कौन सी संख्या गलत अंकित है: 9, 16, 25, 36, 47, 64
A) 16
B) 36
C) 47
D) 64
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यह
3², 4², 5², 6², 7², 8² की पूर्ण वर्ग कतार है। 47 के स्थान पर 7² = 49 होना अनिवार्य था।Q27. दी गई श्रृंखला में गलत पद ज्ञात कीजिए: 5, 6, 14, 45, 184, 924
A) 14
B) 45
C) 184
D) 924
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ
×1+1, ×2+2, ×3+3, ×4+4 का नियम लागू है। अंतिम पद 184 × 5 + 5 = 920 + 5 = 925 होना चाहिए था, मगर यहाँ 924 लिखा है।Q28. श्रृंखला में गलत संख्या कौन सी है: 2, 3, 5, 8, 12, 18, 23
A) 8
B) 12
C) 18
D) 23
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: अंतर लगातार एक संख्या बढ़कर जोड़ा जा रहा है: +1, +2, +3, +4, +5… इस आधार पर
12 + 5 = 17 होना चाहिए था, यहाँ 18 गलत है। यदि 17 रखें तो अगली संख्या 17 + 6 = 23 सही बैठती है।Q29. श्रृंखला में गलत पद का चयन करें: 4, 10, 22, 46, 96, 190
A) 22
B) 46
C) 96
D) 190
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: यहाँ नियम
×2 + 2 का चल रहा है। 4×2+2=10, 10×2+2=22, 22×2+2=46। अगला पद 46 × 2 + 2 = 94 होना चाहिए था, मगर 96 लिखा है।Q30. दी गई श्रृंखला में गलत संख्या पहचानिए: 1, 3, 7, 13, 21, 32, 43
A) 13
B) 21
C) 32
D) 43
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: संख्याओं के बीच सम संख्याओं का क्रमिक अंतर है: +2, +4, +6, +8, +10… इस प्रकार
21 + 10 = 31 होना चाहिए था, मगर श्रृंखला में 32 लिखा है।