आकृतियों की गणना (Counting of Figures) – Complete Master Tutorial
कम्पेटिटिव एग्जाम्स (SSC, Railway, Banking, CGPSC, Vyapam) के Non-Verbal Reasoning सेक्शन में आकृतियों की गणना (Counting of Figures) एक अत्यंत महत्वपूर्ण और निश्चित अंकों वाला टॉपिक है। परीक्षा में समय बचाने के लिए आकृतियों को एक-एक करके गिनने के बजाय शॉर्टकट ट्रिक्स का उपयोग करना पड़ता है। इस आर्टिकल में हम त्रिभुज (Triangles), वर्ग (Squares) और आयत (Rectangles) गिनने की जादुई ट्रिक्स को 15 Solved Examples के साथ विस्तार से समझेंगे।
1. आकृतियों की गणना के जादुई नियम और शार्ट ट्रिक्स
इस टॉपिक को बिना किसी भूल के तेजी से हल करने के लिए मुख्य तीन प्रकार के आकृतियों के बुनियादी पैटर्न्स को समझें:
- 1. लंबवत विभाजित त्रिभुज (Vertically Divided Triangle): जब एक मुख्य त्रिभुज के शीर्ष से आधार पर लंबवत रेखाएं खींची जाएं, तो आधार के सभी छोटे खानों में नंबर
(1, 2, 3...)लिखकर उन्हें आपस में जोड़ देते हैं।
सूत्र:Total = 1 + 2 + 3 + ... + nया[ n(n + 1) / 2 ] - 2. वर्ग के अंदर त्रिभुज (Triangles inside a Square/Box): जब किसी वर्ग या आयत के दोनों विकर्ण (Diagonals) आपस में कटते हैं, तो अंदर बनने वाले छोटे त्रिभुजों को गिनकर उनका **दोगुना (Double)** कर दिया जाता है।
सूत्र:Total = छोटे त्रिभुजों की संख्या × 2 - 3. वर्ग गिनना (Counting Squares – सिमेट्रिक ग्रिड): जब रो (Rows) और कॉलम (Columns) की संख्या बराबर हो
(m × m), तो सभी खानों के नंबरों के वर्गों का योग करते हैं।
सूत्र:Total = 1² + 2² + 3² + ... + n²
2. आकृतियों के प्रकार और हल किए गए उदाहरण (All 3 Main Types)
परीक्षाओं में मुख्य रूप से तीन प्रकार की आकृतियों की गणना पूछी जाती है। आइए प्रत्येक के 5-5 महत्वपूर्ण उदाहरणों को स्टेप-बाय-स्टेप समझते हैं:
प्रकार 1: त्रिभुजों की गणना (Counting Triangles)
यह सबसे अधिक पूछा जाने वाला प्रकार है। इसमें विभिन्न आकृतियों में छिपे कुल त्रिभुजों की संख्या निकालनी होती है।
एक त्रिभुज को शीर्ष से आधार तक दो लंबवत रेखाओं द्वारा 3 छोटे भागों में विभाजित किया गया है। इसमें कुल कितने त्रिभुज हैं?
1. लंबवत विभाजन की ट्रिक के अनुसार आधार के तीनों भागों में नंबर लिखें: 1, 2, और 3।
2. अब इन तीनों अंकों को आपस में जोड़ दें:
⇒ Total = 1 + 2 + 3 = 6 त्रिभुज।
उत्तर: 6
एक वर्ग के अंदर दोनों विकर्ण खींचे गए हैं, जिससे वह छोटे त्रिभुजों में विभाजित हो गया है। इस आकृति में कुल कितने त्रिभुज हैं?
1. बॉक्स ट्रिक लागू करें: दोनों विकर्णों के कटने से अंदर कुल 4 छोटे त्रिभुज बन रहे हैं।
2. नियम के अनुसार, छोटे भागों की संख्या को 2 से गुणा करें:
⇒ Total = 4 × 2 = 8 त्रिभुज।
उत्तर: 8
यदि दो वर्गाकार बॉक्स (जिनके विकर्ण कटे हुए हैं) आपस में एक सीधी रेखा में जोड़ दिए जाएं, तो निर्मित नई संयुक्त आकृति में कुल कितने त्रिभुज होंगे?
1. पहले बॉक्स में त्रिभुजों की संख्या = 4 × 2 = 8।
2. दूसरे बॉक्स में त्रिभुजों की संख्या = 4 × 2 = 8।
3. अब जंक्शन पॉइंट ट्रिक देखें: दोनों बॉक्स जहां मिलते हैं, वहां ऊपर और नीचे की तरफ 2 नए बड़े छिपे हुए त्रिभुज बनते हैं।
4. कुल संख्या = 8 + 8 + 2 (जंक्शन) = 18 त्रिभुज।
उत्तर: 18
एक बड़े त्रिभुज के अंदर एक छोटा उल्टा त्रिभुज इस प्रकार रखा है कि वह बड़े त्रिभुज की तीनों भुजाओं को छूता है। इस आकृति में कुल कितने त्रिभुज हैं?
1. इनर ट्रायंगल ट्रिक: जब एक त्रिभुज के अंदर दूसरा त्रिभुज बनता है, तो वह अंदर कुल 4 नए छोटे त्रिभुज बनाता है।
2. आंतरिक त्रिभुज = 4, और एक बाहर वाला सबसे बड़ा मुख्य त्रिभुज = 1।
3. कुल त्रिभुज = 4 + 1 = 5 त्रिभुज।
उत्तर: 5
एक 5-बिंदु वाले सामान्य स्टार (5-Pointed Star/तारा) की आकृति में कुल कितने त्रिभुज होते हैं?
1. स्टार ट्रिक: एक साधारण 5-पॉइंट वाले स्टार में बाहर की तरफ 5 कोने (त्रिभुज) दिखाई देते हैं।
2. प्रत्येक कोने की विपरीत रेखा के जंक्शन बिंदु पर 1 बड़ा त्रिभुज बनता है (ऐसे कुल 5 जंक्शन बिंदु होते हैं)।
3. सीधा सूत्र: बाहरी कोने (5) + आंतरिक बिंदु (5) = 10 त्रिभुज।
उत्तर: 10
प्रकार 2: वर्गों की गणना (Counting Squares)
इसमें ग्रिड मैट्रिक्स (Rows & Columns) के आधार पर कुल वर्गों की संख्या निकाली जाती है।
एक 3 × 3 आकार के चेस-बोर्ड ग्रिड (जहां रो और कॉलम बराबर हैं) में कुल कितने वर्ग हैं?
1. चूंकि यह एक सिमेट्रिक ग्रिड है (Row = Column = 3), हम वर्ग योग ट्रिक लगाएंगे।
2. सूत्र: 1² + 2² + 3²
3. गणना: 1 + 4 + 9 = 14 वर्ग।
उत्तर: 14
एक 4 × 3 आकार के ग्रिड (जहां 4 कॉलम और 3 रो हैं) में कुल कितने वर्ग होंगे?
1. जब रो और कॉलम बराबर न हों (Non-Symmetric Grid), तो हम अंतिम छोर के नंबरों का आपस में गुणा करते हैं और दोनों में से 1-1 घटाते हुए तब तक जोड़ते हैं जब तक कोई एक शून्य न हो जाए:
– स्टेप 1: 4 × 3 = 12
– स्टेप 2: 3 × 2 = 6
– स्टेप 3: 2 × 1 = 2
2. कुल वर्ग = 12 + 6 + 2 = 20 वर्ग।
उत्तर: 20
एक प्लस [ + ] चिह्न वाले बुनियादी वर्ग के ब्लॉक में कुल कितने वर्ग होते हैं?
1. यह एक 2 × 2 का ग्रिड बनता है।
2. सूत्रानुसार: 1² + 2² = 1 + 4 = 5 वर्ग। (4 छोटे खाने और 1 सबसे बड़ा बाहरी वर्ग)।
उत्तर: 5
एक बड़े वर्ग के अंदर एक 2 × 2 का प्लस वाला ब्लॉक बना है और उसके कोनों को छूता हुआ एक और तिरछा वर्ग अंदर बना है। कुल वर्गों की संख्या क्या होगी?
1. बाहरी प्लस ग्रिड से कुल वर्ग = 5।
2. उसके अंदर जो तिरछा वर्ग बना है, वह स्वयं में 1 वर्ग है और उसके अंदर कोई विभाजन नहीं है।
3. कुल वर्ग = 5 + 1 = 6 वर्ग।
उत्तर: 6
एक 5 × m के ग्रिड में जहां कॉलम 5 हैं और रो 2 हैं, कुल वर्गों की संख्या क्या होगी?
1. नॉन-सिमेट्रिक ग्रिड नियम से गुणा करें:
– स्टेप 1: 5 × 2 = 10
– स्टेप 2: 4 × 1 = 4 (इसके बाद अगला पद 3 × 0 = 0 हो जाएगा)।
2. कुल वर्ग = 10 + 4 = 14 वर्ग।
उत्तर: 14
प्रकार 3: आयतों की गणना (Counting Rectangles)
इसमें किसी ग्रिड के अंदर बनने वाले कुल आयतों की संख्या निकाली जाती है (ध्यान रखें, इस ट्रिक में वर्ग भी आयत के रूप में गिने जाते हैं).
एक 3 × 2 ग्रिड (3 कॉलम और 2 रो) में कुल कितने आयत हैं?
1. आयत गिनने की जादुई ट्रिक: कॉलम के नंबरों को आपस में जोड़ें और रो के नंबरों को आपस में जोड़ें, फिर दोनों के योग का आपस में गुणा कर दें।
2. कॉलम का योग = 1 + 2 + 3 = 6।
3. रो का योग = 1 + 2 = 3।
4. कुल आयत = कॉलम योग × रो योग = 6 × 3 = 18 आयत।
उत्तर: 18
एक 2 × 2 के साधारण वर्गाकार ब्लॉक में कुल कितने आयत होते हैं?
1. कॉलम का योग = 1 + 2 = 3।
2. रो का योग = 1 + 2 = 3।
3. कुल आयत = 3 × 3 = 9 आयत। (इन 9 आयतों में 5 वर्ग भी शामिल हैं)।
उत्तर: 9
यदि परीक्षा में पूछा जाए कि एक 2 × 2 ग्रिड में “केवल आयत” (Only Rectangles – जो वर्ग न हों) कितने हैं, तो उत्तर क्या होगा?
1. नियम: केवल आयत = कुल आयत — कुल वर्ग।
2. हमने पिछले उदाहरणों में देखा कि 2 × 2 ग्रिड में कुल आयत = 9 होते हैं और कुल वर्ग = 5 होते हैं।
3. केवल आयत = 9 — 5 = 4 आयत।
उत्तर: 4
एक सीधी लंबी पट्टी में 5 खाने बने हुए हैं। इस कतार में कुल कितने आयत होंगे?
1. यह 5 × 1 का ग्रिड है (5 कॉलम, 1 रो)।
2. कॉलम का योग = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15। रो का योग = 1।
3. कुल आयत = 15 × 1 = 15 आयत।
उत्तर: 15
एक 4 × m के ग्रिड में जहां कॉलम 4 और रो 3 हैं, कुल आयतों की संख्या क्या होगी?
1. कॉलम का योग: 1 + 2 + 3 + 4 = 10।
2. रो का योग: 1 + 2 + 3 = 6।
3. कुल आयत = 10 × 6 = 60 आयत।
उत्तर: 60
3. मेगा अभ्यास क्विज: आकृतियों की गणना (15 Important Questions)
नीचे दिए गए तीनों प्रकारों के 15 महत्वपूर्ण प्रश्नों को खुद से हल करें और ‘उत्तर देखें’ बटन पर क्लिक करके सही लॉजिक समझें:
प्रकार 1: त्रिभुजों की गणना (5 प्रश्न)
Q1. एक बड़े त्रिभुज को एक क्षैतिज (Horizontal) रेखा द्वारा दो भागों में और शीर्ष से आधार तक दो लंबवत (Vertical) रेखाओं द्वारा विभाजित किया गया है। इस आकृति में कुल कितने त्रिभुज हैं?
A) 6
B) 12
C) 8
D) 10
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: लंबवत विभाजन के कारण नीचे वाले आधार पर
1 + 2 + 3 = 6 त्रिभुज बनेंगे। चूंकि एक क्षैतिज रेखा कतार को दो मंजिलों में बांटती है, इसलिए कुल त्रिभुजों की संख्या दोगुनी हो जाएगी: 6 × 2 = 12।Q2. एक वर्गाकार बॉक्स के अंदर दोनों मुख्य विकर्ण कटे हुए हैं और एक लंबवत मध्य रेखा भी खींची गई है (कुल 6 खाने)। इसमें कुल कितने त्रिभुज होंगे?
A) 12
B) 8
C) 16
D) 10
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: बॉक्स ट्रिक के अनुसार, जब विकर्ण और मध्य रेखाएं काटती हैं, तो अंदर बनने वाले कुल छोटे खानों (त्रिभुजों) की संख्या को गिना जाता है। यहाँ अंदर 6 छोटे त्रिभुज बन रहे हैं, अतः कुल संख्या:
6 × 2 = 12 त्रिभुज होगी।Q3. तीन वर्गाकार बॉक्स (जिनके विकर्ण आपस में कटे हुए हैं) को एक सीधी कतार में आपस में जोड़ दिया गया है। इस संयुक्त आकृति में कुल कितने त्रिभुज होंगे?
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: प्रत्येक स्वतंत्र बॉक्स से
4 × 2 = 8 त्रिभुज मिलेंगे → 8 + 8 + 8 = 24। अब जंक्शन पॉइंट्स को देखें: पहले और दूसरे बॉक्स के जोड़ पर 2 बड़े छिपे त्रिभुज बनेंगे, तथा दूसरे और तीसरे बॉक्स के जोड़ पर भी 2 बड़े छिपे त्रिभुज बनेंगे। कुल संख्या: 24 + 2 + 2 = 28।Q4. दो बड़े त्रिभुज एक दूसरे के ऊपर उल्टे रखे हुए हैं जिससे एक 6-पॉइंट वाला स्टार (6-Pointed Star / डेविड का तारा) बनता है। इस आकृति में कुल कितने त्रिभुज हैं?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: 6-पॉइंट वाले स्टार में बाहर की तरफ 6 छोटे स्वतंत्र त्रिभुज दिखाई देते हैं। इसके अलावा 2 मुख्य बड़े त्रिभुज होते हैं जो एक दूसरे के ऊपर उल्टे रखे होते हैं। कुल संख्या:
6 + 2 = 8।Q5. एक बड़े मुख्य त्रिभुज के अंदर एक छोटा उल्टा त्रिभुज रखा है, और फिर उस उल्टे त्रिभुज के अंदर भी एक और छोटा सीधा त्रिभुज रखा है। इस आकृति में कुल त्रिभुजों की संख्या क्या होगी?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: इनर ट्रायंगल ट्रिक के अनुसार, जब भी कोई त्रिभुज किसी बाहरी त्रिभुज के अंदर बैठता है, तो वह 4 नए त्रिभुज बनाता है। यहाँ सबसे बड़े के अंदर पहला उल्टा बैठा → +4; फिर उसके अंदर एक और बैठा → +4; और 1 सबसे बाहर वाला मुख्य त्रिभुज। कुल संख्या:
4 + 4 + 1 = 9।प्रकार 2: वर्गों की गणना (5 प्रश्न)
Q6. एक 4 × 4 आकार के पूर्ण सिमेट्रिक ग्रिड (4 कॉलम और 4 रो) में कुल कितने वर्ग होते हैं?
A) 16
B) 20
C) 26
D) 30
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: सिमेट्रिक ग्रिड के नियम से सभी नंबरों के वर्गों का योग करेंगे:
1² + 2² + 3² + 4² → 1 + 4 + 9 + 16 = 30 वर्ग।Q7. एक आयताकार ग्रिड का आकार 5 × 4 है (5 कॉलम और 4 रो)। इस आकृति में कुल कितने वर्ग छिपे हैं?
A) 40
B) 35
C) 45
D) 50
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: नॉन-सिमेट्रिक ग्रिड के नियम से अंतिम छोर के अंकों को गुणा करते हुए 1-1 घटाएंगे:
(5×4) + (4×3) + (3×2) + (2×1) → 20 + 12 + 6 + 2 = 30 + 10... 35 (शुद्ध गणना: 20 + 12 + 6 + 2 = 40, विकल्प सुधार के अनुसार कुल 40 वर्ग होंगे)।Q8. तीन 2 × 2 के प्लस वाले बुनियादी वर्गाकार ब्लॉक्स (प्रत्येक में 5 वर्ग) एक दूसरे के ऊपर सीढ़ीनुमा तरीके से रखे हैं और उनके कोने आपस में जुड़े हैं (कोई ओवरलैपिंग नहीं)। कुल कितने वर्ग होंगे?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: चूंकि तीनों ब्लॉक्स अलग-अलग हैं और केवल कोनों से जुड़े हैं, इसलिए उनके जुड़ने से कोई नया छिपा हुआ वर्ग नहीं बनेगा। कुल संख्या:
5 + 5 + 5 = 15 वर्ग।Q9. एक बड़े वर्ग के अंदर एक छोटा वर्ग इस प्रकार बना है कि वह बड़े वर्ग के केवल आंतरिक प्लस रेखाओं के छोरों को छूता है। यदि बड़ा वर्ग स्वयं 2 × 2 का हो, तो कुल वर्ग कितने होंगे?
A) 5
B) 7
C) 6
D) 8
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: बाहरी
2 × 2 ग्रिड से कुल 5 वर्ग मिलते हैं। उसके अंदर जो तिरछा वर्ग बना है, वह बिना किसी विभाजन के केवल 1 स्वतंत्र वर्ग है। कुल संख्या: 5 + 1 = 6 वर्ग।Q10. एक 6 × 2 आकार के लंबे ग्रिड में (6 कॉलम और 2 रो) कुल वर्गों की संख्या क्या होगी?
A) 12
B) 15
C) 17
D) 20
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: नॉन-सिमेट्रिक ग्रिड ट्रिक से:
(6 × 2) + (5 × 1) → 12 + 5 = 17 वर्ग। इसके बाद की संख्या शून्य हो जाएगी।प्रकार 3: आयतों की गणना (5 प्रश्न)
Q11. एक 3 × 3 आकार के वर्गाकार ग्रिड में कुल कितने आयत होते हैं (ध्यान रहे, इसमें वर्ग भी शामिल हैं)?
A) 36
B) 27
C) 14
D) 45
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: आयत की जादुई ट्रिक से: कॉलम का योग × रो का योग। यहाँ कॉलम योग =
1+2+3 = 6 और रो योग = 1+2+3 = 6। कुल आयत: 6 × 6 = 36।Q12. एक 4 × 2 आकार के ग्रिड में कुल आयतों की संख्या क्या होगी?
A) 24
B) 30
C) 20
D) 16
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: ट्रिक अनुसार: कॉलम योग =
1+2+3+4 = 10। रो योग = 1+2 = 3। कुल आयत = 10 × 3 = 30 आयत।Q13. यदि एक 3 × 3 ग्रिड में कुल आयत 36 हैं और कुल वर्ग 14 हैं, तो “केवल आयत” (Only Rectangles – जो वर्ग नहीं हैं) की संख्या क्या होगी?
A) 14
B) 20
C) 22
D) 24
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: केवल आयत निकालने के लिए कुल आयतों में से कुल वर्गों को घटा दिया जाता है →
36 — 14 = 22 केवल आयत।Q14. अंग्रेजी के ‘L’ आकार में दो पट्टियां जुड़ी हैं। एक क्षैतिज पट्टी में 3 खाने हैं और खड़ी पट्टी में भी 3 खाने हैं (कोने का खाना कॉमन है)। कुल आयत कितने होंगे?
A) 12
B) 11
C) 14
D) 10
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: पहली कतार (3 खाने) का योग =
1+2+3 = 6। दूसरी खड़ी कतार (3 खाने) का योग = 1+2+3 = 6। दोनों को जोड़ने पर 6 + 6 = 12, लेकिन कोने का सिंगल खाना दोनों में दो बार गिना गया है, इसलिए 1 घटाएंगे: 12 - 1 = 11।Q15. एक 4 × 3 ग्रिड में (4 कॉलम और 3 रो) कुल आयतों की संख्या क्या होगी?
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
उत्तर और स्पष्टीकरण देखें
लॉजिक: कॉलम का योग =
1+2+3+4 = 10। रो का योग = 1+2+3 = 6। कुल आयत = 10 × 6 = 60 आयत।