Profit Loss & Discount (लाभ, हानि और बट्टा)

Profit Loss & Discount प्रतियोगी परीक्षाओं में एक ऐसा टॉपिक है जहाँ से सबसे अधिक प्रश्न पूछे जाते हैं। इस अध्याय की सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि आप Cost Price (क्रय मूल्य) को आधार बनाना कितनी अच्छी तरह जानते हैं।

Profit Loss & Discount (लाभ, हानि और बट्टा) बुनियादी शब्दावली (Key Terms)

Cost Price (CP – क्रय मूल्य): वह मूल्य जिस पर वस्तु खरीदी जाती है।
Selling Price (SP – विक्रय मूल्य): वह मूल्य जिस पर वस्तु बेची जाती है।
Marked Price (MP – अंकित मूल्य): वस्तु पर छपा हुआ मूल्य (MRP)।
Profit (लाभ): जब SP > CP. (लाभ = SP – CP)
Loss (हानि): जब CP > SP. (हानि = CP – SP)

लाभ, हानि और बट्टा के विभिन्न प्रकार के प्रश्न

1. लाभ और हानि प्रतिशत (Basic P/L %)

Concept: लाभ या हानि की वास्तविक गणना हमेशा क्रय मूल्य (CP) को आधार मानकर की जाती है।

\( \text{Profit %} = \frac{\text{Profit}}{\text{CP}} \times 100 \), \( \text{Loss %} = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100 \)

उदाहरण 1.1:

एक मेज 500 रुपये में खरीदी गई और 600 रुपये में बेची गई। लाभ प्रतिशत क्या है?

चरण 1: सबसे पहले वास्तविक लाभ ज्ञात करें। (लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य)

लाभ = 600 – 500 = 100 रुपये

चरण 2: अब क्रय मूल्य (500) के सापेक्ष प्रतिशत लाभ निकालें।

लाभ % = \( \frac{100}{500} \times 100 \)

लाभ % = 1/5 × 100 = 20%

उत्तर: 20%

उदाहरण 1.2:

एक वस्तु 800 रुपये में खरीदी गई और 10% हानि पर बेची गई। विक्रय मूल्य क्या है?

चरण 1: कुल मूल्य 100% होता है। 10% हानि का अर्थ है कि वस्तु को उसके मूल्य के 90% पर बेचा गया।

चरण 2: क्रय मूल्य (800) का 90% ज्ञात करें।

विक्रय मूल्य (SP) = 800 × 90/100

SP = 8 × 90 = 720 रुपये

उत्तर: 720 रुपये

उदाहरण 1.3:

विक्रय मूल्य 450 रुपये है और हानि 10% है। क्रय मूल्य (CP) क्या होगा?

चरण 1: 10% हानि के कारण विक्रय मूल्य मूल दाम का 90% रह जाएगा।

90% = 450 रुपये

चरण 2: ऐकिक नियम से 1% का मान निकालें। (1% = 450 / 90 = 5)

चरण 3: मूल क्रय मूल्य हमेशा 100% होता है।

100% = 5 × 100 = 500 रुपये

उत्तर: 500 रुपये

2. वस्तुओं की संख्या पर आधारित लाभ हानि के प्रश्न (Quantity Based)

Concept: जब x वस्तुओं का क्रय मूल्य, y वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर हो, तो बेची गई वस्तुओं की संख्या को हर (Base) बनाते हैं।

\( \text{Profit/Loss %} = \frac{\text{Antar}}{\text{Items Sold}} \times 100 \)

उदाहरण 2.1:

15 संतरों का क्रय मूल्य 10 संतरों के विक्रय मूल्य के बराबर है। लाभ % ज्ञात करें।

चरण 1: वस्तुओं का अंतर निकालें। (15 – 10 = 5 संतरे)

चरण 2: यहाँ कुल 10 संतरे बेचे गए हैं, इसलिए हर में 10 आएगा।

लाभ % = \( \frac{5}{10} \times 100 \)

लाभ % = 1/2 × 100 = 50%

उत्तर: 50%

उदाहरण 2.2:

12 पेनों का क्रय मूल्य 15 पेनों के विक्रय मूल्य के बराबर है। हानि % क्या है?

चरण 1: चूंकि क्रय की गई वस्तुओं से ज्यादा वस्तुएं बेचनी पड़ रही हैं, इसलिए हानि होगी। अंतर = 15 – 12 = 3

चरण 2: बेची गई वस्तुएं (15) हर में आएंगी।

हानि % = \( \frac{3}{15} \times 100 \)

हानि % = 1/5 × 100 = 20%

उत्तर: 20%

उदाहरण 2.3:

25 वस्तुओं का क्रय मूल्य 20 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है। लाभ % क्या है?

चरण 1: अंतर = 25 – 20 = 5। बेची गई वस्तुएं = 20।

चरण 2: फॉर्मूले के अनुसार प्रतिशत मान निकालें।

लाभ % = \( \frac{5}{20} \times 100 \)

लाभ % = 1/4 × 100 = 25%

उत्तर: 25%

3. क्रमिक लाभ और हानि (Successive P/L)

उदाहरण 3.1:

A एक वस्तु B को 20% लाभ पर बेचता है और B उसे C को 10% लाभ पर बेचता है। यदि C उसे 1320 रुपये में खरीदता है, तो A का क्रय मूल्य क्या था?

चरण 1: माना A का क्रय मूल्य x था।

A ने 20% लाभ पर बेचा यानी मूल्य हो गया: x × 120/100

B ने इस पर 10% लाभ कमाया यानी अंतिम मूल्य हो गया: (x × 120/100) × 110/100

चरण 2: इस अंतिम मूल्य को C के क्रय मूल्य (1320) के बराबर रखें।

x × 1.20 × 1.10 = 1320 ⇒ x × 1.32 = 1320

x = 1320 / 1.32 = 1000 रुपये

उत्तर: 1000 रुपये

उदाहरण 3.2:

एक मशीन का मूल्य 10% प्रति वर्ष की दर से कम होता है। 2 वर्ष बाद मूल्य क्या होगा यदि वर्तमान मूल्य 10,000 रुपये है?

चरण 1: 10% वार्षिक कमी का मतलब है कि हर साल मूल्य पिछले साल का 90% (90/100) रह जाता है।

चरण 2: 2 वर्ष के लिए क्रमिक गुणा का समीकरण बनाएं।

नया मूल्य = 10,000 × 90/100 × 90/100

नया मूल्य = 10,000 × 0.81 = 8100 रुपये

उत्तर: 8100 रुपये

उदाहरण 3.3:

एक डीलर 10% लाभ पर थोक विक्रेता को और थोक विक्रेता 20% लाभ पर ग्राहक को बेचता है। कुल प्रभावी लाभ क्या है?

चरण 1: यहाँ क्रमिक प्रतिशत वृद्धि का सक्सेसिव फॉर्मूला (a + b + ab/100) लगाएंगे।

a = 10, b = 20

चरण 2: मान रखने पर: कुल लाभ = 10 + 20 + \( \frac{10 \times 20}{100} \)

कुल लाभ = 30 + 2 = 32%

उत्तर: 32%

4. बेईमान दुकानदार (Dishonest Dealer)

Concept: जब दुकानदार कम वजन का उपयोग करके लाभ कमाता है, तो उसका वास्तविक खर्च (CP) उसके द्वारा तोले गए वजन के बराबर होता है।

\( \text{Profit %} = \frac{\text{Truti}}{\text{Sahi Maap – Truti}} \times 100 \)

उदाहरण 4.1:

एक दुकानदार 1kg के स्थान पर 900g वजन का प्रयोग करता है। उसका लाभ % क्या है?

चरण 1: त्रुटि (चोरी किया गया वजन) निकालें। 1kg (1000g) – 900g = 100g।

चरण 2: दुकानदार की जेब से केवल 900g सामान गया है, इसलिए हर में 900g आएगा।

लाभ % = \( \frac{100}{900} \times 100 \)

लाभ % = 1/9 × 100 = 11.11%

उत्तर: 11.11%

उदाहरण 4.2:

एक दुकानदार 1kg की जगह 800g तोलता है और क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है। लाभ %?

चरण 1: त्रुटि = 1000g – 800g = 200g। वास्तविक तोला गया वजन = 800g।

चरण 2: फॉर्मूले में मान रखें।

लाभ % = \( \frac{200}{800} \times 100 \)

लाभ % = 1/4 × 100 = 25%

उत्तर: 25%

उदाहरण 4.3:

एक दुकानदार 10% लाभ पर सामान बेचता है और 20% कम वजन का उपयोग भी करता है। कुल लाभ %?

चरण 1: मान लें 1000g सामान का वास्तविक दाम 1000 रुपये है (1 रुपये = 1g)।

20% कम वजन तोलने का मतलब है कि उसने ग्राहक को केवल 800g सामान दिया (लागत मूल्य = 800 रुपये)।

चरण 2: वह 10% लाभ का दावा करता है, यानी वह 1000 रुपये की वस्तु को 1100 रुपये में बेच रहा है (विक्रय मूल्य = 1100 रुपये)।

चरण 3: शुद्ध लाभ = 1100 – 800 = 300 रुपये।

कुल लाभ % = \( \frac{300}{800} \times 100 \) = 3/8 × 100 = 37.5%

उत्तर: 37.5%

5. अंकित मूल्य और क्रय मूल्य (MP & CP Relation)

Master Formula: जब प्रश्न में छूट (Discount) और लाभ (Profit) दोनों प्रतिशत एक साथ दिए हों, तो इस मास्टर अनुपात का उपयोग करें:

\( \frac{\text{MP}}{\text{CP}} = \frac{100 + \text{Profit %}}{100 – \text{Discount %}} \)

उदाहरण 5.1:

10% छूट देकर 20% लाभ कमाने के लिए अंकित मूल्य क्रय मूल्य से कितने % अधिक होना चाहिए?

चरण 1: मास्टर फॉर्मूले में Profit = 20 और Discount = 10 रखें।

MP / CP = (100 + 20) / (100 – 10) = 120 / 90

MP / CP = 4 / 3 (अर्थात यदि CP = 3 है, तो MP = 4 रखना होगा)

चरण 2: अंकित मूल्य को क्रय मूल्य से 1 अधिक रखना पड़ रहा है।

अधिकता % = \( \frac{4 – 3}{3} \times 100 = \frac{1}{3} \times 100 \) = 33.33%

उत्तर: 33.33%

उदाहरण 5.2:

एक वस्तु का CP 800 रुपये है। 10% छूट देकर 12.5% लाभ के लिए MP क्या रखें?

चरण 1: समीकरण के अनुसार मान सेट करें: MP = CP × \( \frac{100 + \text{Profit}}{100 – \text{Discount}} \)

MP = 800 × 112.5 / 90

चरण 2: दशमलव हटाने पर नीचे 900 हो जाएगा।

MP = 800 × 1125 / 900 = 8 × 125 = 1000 रुपये

उत्तर: 1000 रुपये

उदाहरण 5.3:

यदि अंकित मूल्य 500 रुपये है और 20% छूट दी जाती है, तो विक्रय मूल्य क्या होगा?

चरण 1: छूट हमेशा अंकित मूल्य (MP) पर दी जाती है। 20% छूट के बाद विक्रय मूल्य MP का 80% बचेगा।

विक्रय मूल्य = 500 × 80/100

विक्रय मूल्य = 5 × 80 = 400 रुपये

उत्तर: 400 रुपये

6. क्रमिक बट्टा (Successive Discount)

उदाहरण 6.1:

20% और 10% के दो क्रमिक बट्टों के समतुल्य एक अकेला बट्टा क्या होगा?

चरण 1: क्रमिक छूट के लिए एकल छूट फॉर्मूला है: \( x + y – \frac{xy}{100} \)

चरण 2: x = 20 और y = 10 फॉर्मूले में रखें।

कुल बट्टा = 20 + 10 – \( \frac{20 \times 10}{100} \)

कुल बट्टा = 30 – 2 = 28%

उत्तर: 28%

उदाहरण 6.2:

1000 रुपये पर 10%, 20% और 30% के क्रमिक बट्टों के बाद मूल्य क्या होगा?

चरण 1: बट्टों के बाद बचे हुए मूल्य का प्रतिशत मल्टीप्लायर क्रमशः 0.9, 0.8 और 0.7 होगा।

चरण 2: क्रमिक गुणा करने पर:

अंतिम मूल्य = 1000 × 0.9 × 0.8 × 0.7

अंतिम मूल्य = 1000 × 0.504 = 504 रुपये

उत्तर: 504 रुपये

उदाहरण 6.3:

किस ऑफर में ग्राहक को अधिक लाभ है? (A) 30% और 10% की छूट (B) 25% और 15% की छूट?

चरण 1: ऑफर A का कुल समतुल्य बट्टा निकालें: 30 + 10 – (300/100) = 40 – 3 = 37%

चरण 2: ऑफर B का कुल समतुल्य बट्टा निकालें: 25 + 15 – (375/100) = 40 – 3.75 = 36.25%

निष्कर्ष: ऑफर A में ग्राहक को ज्यादा छूट (37%) मिल रही है, अतः ऑफर A बेहतर है।

उत्तर: ऑफर (A)

7. फ्री ऑफर (Buy X Get Y Free)

Concept: इस प्रकार के विज्ञापन वाले ऑफर्स में डिस्काउंट प्रतिशत की गणना दुकानदार के पास से जाने वाली ‘कुल वस्तुओं’ के आधार पर की जाती है।

\( \text{Discount %} = \frac{\text{Mukt Vastu}}{\text{Kul Vastu}} \times 100 \)

उदाहरण 7.1:

“Buy 3 Get 1 Free” ऑफर में प्रभावी छूट % क्या है?

चरण 1: मुफ्त मिलने वाली वस्तु = 1। ग्राहक के हाथ में आने वाली कुल वस्तुएं = 3 + 1 = 4।

चरण 2: फॉर्मूले में मान रखें:

छूट % = \( \frac{1}{4} \times 100 \) = 25%

उत्तर: 25%

उदाहरण 7.2:

“Buy 5 Get 3 Free” ऑफर में छूट % क्या होगी?

चरण 1: मुफ्त वस्तु = 3। कुल वस्तुएं = 5 + 3 = 8।

चरण 2: गणना करें: छूट % = \( \frac{3}{8} \times 100 \) = 37.5%

उत्तर: 37.5%

उदाहरण 7.3:

“Buy 4 Get 1 Free” और ऊपर से 20% की अतिरिक्त छूट। कुल छूट % क्या है?

चरण 1: सबसे पहले फ्री ऑफर की पहली छूट निकालें: 1 / (4+1) × 100 = 1/5 × 100 = 20%

चरण 2: अब पहली छूट (20%) और दूसरी अतिरिक्त छूट (20%) का समतुल्य बट्टा निकालें।

कुल बट्टा = 20 + 20 – \( \frac{20 \times 20}{100} \) = 40 – 4 = 36%

उत्तर: 36%

8. विविध प्रश्न (Mixed Problems)

उदाहरण 8.1:

दो वस्तुओं में से प्रत्येक को 1200 में बेचा गया। एक पर 20% लाभ और दूसरे पर 20% हानि हुई। कुल सौदे में क्या परिणाम रहा?

चरण 1: जब दो वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP) समान हो और उन पर होने वाला लाभ% और हानि% भी समान हो, तो पूरे व्यापार में हमेशा हानि ही होती है।

चरण 2: सूत्र का उपयोग करें: हानि % = \( \frac{R^2}{100} \)

हानि % = \( \frac{20^2}{100} = \frac{400}{100} \) = 4% हानि

उत्तर: 4% हानि

उदाहरण 8.2:

1 रुपये में 30 संतरे बेचने पर 25% हानि होती है। 25% लाभ के लिए 1 रुपये में कितने संतरे बेचने होंगे?

चरण 1: मूल्यों का अनुपात (Price Ratio) देखें। पहले 25% हानि (100-25=75) और बाद में 25% लाभ (100+25=125) चाहिए।

मूल्य अनुपात = 75 : 125 ⇒ 3 : 5

चरण 2: हम जानते हैं कि मूल्य और वस्तुओं की मात्रा का अनुपात एक-दूसरे के विपरीत (Inverse) होता है।

मात्रा अनुपात = 5 : 3

चरण 3: प्रारंभिक मात्रा 5 यूनिट = 30 संतरे है, तो 1 यूनिट = 6 संतरे।

नई आवश्यक मात्रा (3 यूनिट) = 3 × 6 = 18 संतरे

उत्तर: 18 संतरे

उदाहरण 8.3:

वस्तु को 240 रुपये में बेचने पर उतनी ही हानि होती है जितना 320 रुपये में बेचने पर लाभ। वस्तु का क्रय मूल्य (CP) क्या है?

चरण 1: जब लाभ और हानि की राशि समान हो, तो क्रय मूल्य दोनों विक्रय मूल्यों का औसत (औसत मान) होता है।

क्रय मूल्य (CP) = (SP1 + SP2) / 2

CP = (240 + 320) / 2 = 560 / 2 = 280 रुपये

उत्तर: 280 रुपये