Ratio and Proportion (अनुपात और समानुपात)

Ratio and Proportion गणित की वह नींव है जिस पर Percentage, Profit & Loss और Partnership जैसे कई अध्याय टिके हुए हैं। इस पोस्ट में हम बेसिक से लेकर एडवांस लेवल तक के सभी प्रकारों को विस्तृत उदाहरणों के साथ समझेंगे।

Ratio and Proportion (अनुपात और समानुपात) मूल अवधारणा (Core Concepts)

Ratio (अनुपात): दो समान प्रकार की राशियों के बीच तुलना। इसे a:b या भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है।
Proportion (समानुपात): जब दो अनुपात आपस में बराबर हों, तो उन्हें समानुपात कहते हैं। इसे a:b :: c:d लिखा जाता है।

यदि a:b :: c:d, तो a × d = b × c
(बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल)

1. अनुपातों को जोड़ना (Combining Ratios)

Concept: जब अलग-अलग अनुपात दिए हों, तो साझा (common) पद की वैल्यू का LCM लेकर उसे दोनों अनुपातों में बराबर किया जाता है।

उदाहरण 1.1:

यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5 है, तो A:B:C ज्ञात करें।

चरण 1: दोनों अनुपातों में साझा पद B है। पहले अनुपात में B = 3 है और दूसरे में B = 4 है।

चरण 2: 3 और 4 को बराबर करने के लिए इनका LCM निकालें। 3 और 4 का LCM = 12 होता है।

चरण 3: पहले अनुपात को 4 से और दूसरे अनुपात को 3 से गुणा करें ताकि B का मान 12 हो जाए:

A : B = (2 × 4) : (3 × 4) = 8 : 12

B : C = (4 × 3) : (5 × 3) = 12 : 15

अब दोनों को मिलाने पर: A:B:C = 8:12:15

उत्तर: 8:12:15

उदाहरण 1.2:

यदि A:B = 1:2, B:C = 3:4 और C:D = 5:6 है, तो A:D क्या होगा?

चरण 1: जब पहले और अंतिम पद का अनुपात (A:D) पूछा जाए, तो सभी अनुपातों को भिन्न रूप में लिखकर आपस में गुणा कर देते हैं।

\( \frac{A}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D} \)

चरण 2: समीकरण में सभी मान रखें:

\( \frac{A}{D} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \)

चरण 3: अंश का अंश से और हर का हर से गुणा करें, या जो कट रहा है उसे काटें (3 से 6 दो बार में कटेगा):

\( \frac{A}{D} = \frac{1 \times 1 \times 5}{2 \times 4 \times 2} = \frac{5}{16} \)

उत्तर: 5:16

उदाहरण 1.3:

यदि 3A = 4B = 5C है, तो A:B:C क्या होगा?

चरण 1: गुणांकों (3, 4 और 5) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें। 3, 4, 5 का LCM = 60 है।

चरण 2: प्रत्येक पद का व्यक्तिगत अनुपात निकालने के लिए LCM (60) को उनके गुणांक से भाग दें:

A = 60 / 3 = 20

B = 60 / 4 = 15

C = 60 / 5 = 12

अतः अनुपात A:B:C = 20:15:12 होगा।

उत्तर: 20:15:12

2. समानुपाती पद (Mean, Third & Fourth Proportional)

प्रकार (Type)	सूत्र (Formula)
मध्यानुपाती (Mean Prop.)	\( \sqrt{a \times b} \)
तृतीयानुपाती (Third Prop.)	\( \frac{b^2}{a} \)
चतुर्थानुपाती (Fourth Prop.)	\( \frac{b \times c}{a} \)

उदाहरण 2.1:

9 और 25 का मध्यानुपाती ज्ञात करें।

चरण 1: मध्यानुपाती के सूत्र का उपयोग करें, जहाँ a = 9 और b = 25 है।

सूत्र: \( \text{Mean Prop.} = \sqrt{a \times b} \)

चरण 2: संख्याओं का गुणनफल करके वर्गमूल निकालें:

मान = \( \sqrt{9 \times 25} = \sqrt{225} \)

हम जानते हैं कि 225 का वर्गमूल 15 होता है।

उत्तर: 15

उदाहरण 2.2:

12 oars 30 का तृतीयानुपाती ज्ञात करें।

चरण 1: तृतीयानुपाती सूत्र का उपयोग करें, जहाँ a = 12 और b = 30 है।

सूत्र: \( \text{Third Prop.} = \frac{b^2}{a} \)

चरण 2: समीकरण को हल करें:

मान = \( \frac{30 \times 30}{12} = \frac{900}{12} \)

900 को 12 से भाग देने पर हमें 75 प्राप्त होता है।

उत्तर: 75

उदाहरण 2.3:

4, 9 और 12 का चतुर्थानुपाती ज्ञात करें।

चरण 1: चतुर्थानुपाती सूत्र का उपयोग करें, जहाँ a = 4, b = 9 और c = 12 है।

सूत्र: \( \text{Fourth Prop.} = \frac{b \times c}{a} \)

चरण 2: मान रखकर सरल करें:

मान = \( \frac{9 \times 12}{4} \)

12 को 4 से भाग देने पर 3 आएगा, फिर 9 × 3 = 27 होगा।

उत्तर: 27

3. आयु पर आधारित (Age Problems)

Concept: किन्हीं भी दो व्यक्तियों की आयु का अंतर (Difference) जीवनभर हमेशा समान रहता है। यदि अनुपातों में अंतर समान नहीं है, तो उसे गुणा करके बराबर किया जाता है।

उदाहरण 3.1:

राम और श्याम की आयु का अनुपात 3:4 है। 5 साल बाद यह 4:5 हो जाता है। राम की वर्तमान आयु क्या है?

चरण 1: वर्तमान अनुपात (3:4) और 5 वर्ष बाद के अनुपात (4:5) को देखें। दोनों की यूनिट में समान रूप से 1 यूनिट की वृद्धि हो रही है (3 से 4 और 4 से 5)।

चरण 2: अनुपात की यह 1 यूनिट वृद्धि, समय के 5 वर्ष के अंतराल के बराबर है।

1 यूनिट = 5 वर्ष

चरण 3: राम की वर्तमान आयु का अनुपात 3 यूनिट है:

राम की आयु = 3 × 5 = 15 वर्ष

उत्तर: 15 वर्ष

उदाहरण 3.2:

पिता और पुत्र की आयु का योग 60 वर्ष है। उनका अनुपात 7:3 है। 6 साल बाद अनुपात क्या होगा?

चरण 1: अनुपातों का कुल योग = 7 + 3 = 10 यूनिट। यह योग 60 वर्ष के बराबर दिया गया है।

10 यूनिट = 60 वर्ष ⇒ 1 यूनिट = 6 वर्ष

चरण 2: दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात करें:

पिता की आयु = 7 × 6 = 42 वर्ष, पुत्र की आयु = 3 × 6 = 18 वर्ष

चरण 3: 6 साल बाद दोनों की आयु में 6 वर्ष जोड़ें और नया अनुपात निकालें:

6 साल बाद: पिता = 42 + 6 = 48 वर्ष, पुत्र = 18 + 6 = 24 वर्ष

नया अनुपात = 48 : 24 = 2 : 1

उत्तर: 2:1

उदाहरण 3.3:

10 साल पहले A और B का अनुपात 3:1 था। 10 साल बाद यह 2:1 होगा। वर्तमान आयु क्या है?

चरण 1: 10 साल पहले का अनुपात = 3:1 (अंतर = 2)। 10 साल बाद का अनुपात = 2:1 (अंतर = 1)। आयु का अंतर हमेशा समान रखने के लिए दूसरे अनुपात को 2 से गुणा करेंगे।

नया भविष्य का अनुपात = 4:2 (अब दोनों अनुपातों का अंतर 2 हो गया)।

चरण 2: अनुपात में वृद्धि (3 से 4 और 1 से 2) यानी 1 यूनिट की है। समय का कुल अंतराल = 10 साल पहले + 10 साल बाद = 20 वर्ष।

1 यूनिट = 20 वर्ष

चरण 3: 10 साल पहले की आयु निकालें:

A = 3 × 20 = 60 वर्ष, B = 1 × 20 = 20 वर्ष

वर्तमान आयु के लिए इसमें 10 वर्ष जोड़ें: A = 70 वर्ष, B = 30 वर्ष

उत्तर: 70 वर्ष और 30 वर्ष

4. सिक्कों वाले सवाल (Coin Based)

Concept: बैग वाले प्रश्नों में यदि कुल रुपए दिए हों, तो सिक्कों की संख्या के अनुपात को ‘मूल्य अनुपात’ (Value Ratio) में बदला जाता है।

उदाहरण 4.1:

एक बैग में ₹1, 50p और 25p के सिक्के 5:6:8 के अनुपात में हैं। कुल राशि ₹240 है। 25p के सिक्के कितने हैं?

चरण 1: सिक्कों की संख्या के अनुपात को रुपए के मूल्य में बदलें:

₹1 के 5 सिक्के = 5 रुपए

50p के 6 सिक्के = 6 × 0.5 = 3 रुपए

25p के 8 सिक्के = 8 × 0.25 = 2 रुपए

मूल्य का अनुपात = 5 : 3 : 2

चरण 2: मूल्यों का कुल योग = 5 + 3 + 2 = 10 यूनिट। यह ₹240 के बराबर है।

10 यूनिट = 240 ⇒ 1% यूनिट = 24

चरण 3: 25p के सिक्कों की संख्या का अनुपात 8 यूनिट था:

सिक्कों की संख्या = 8 × 24 = 192 सिक्के

उत्तर: 192

उदाहरण 4.2:

कुल 378 सिक्के हैं। उनके मूल्यों का अनुपात 13:11:7 है। 50p के सिक्के ज्ञात करें।

चरण 1: यहाँ कुल सिक्कों की ‘संख्या’ दी गई है, इसलिए मूल्य अनुपात को संख्या के अनुपात में बदलेंगे:

₹1 के ₹13 मूल्य = 13 सिक्के

50p के ₹11 मूल्य = 11 × 2 = 22 सिक्के

25p के ₹7 मूल्य = 7 × 4 = 28 सिक्के

संख्या का अनुपात = 13 : 22 : 28

चरण 2: सिक्कों का कुल योग = 13 + 22 + 28 = 63 यूनिट।

63專 यूनिट = 378 ⇒ 1 यूनिट = 378 / 63 = 6

चरण 3: 50p के सिक्कों की संख्या का अनुपात 22 यूनिट है:

50p के सिक्के = 22 × 6 = 132 सिक्के

उत्तर: 132

उदाहरण 4.3:

₹1 और 50p के सिक्कों का अनुपात 3:4 है। कुल मूल्य ₹45 है। कुल सिक्के कितने हैं?

चरण 1: संख्या अनुपात (3:4) को मूल्य में बदलें:

₹1 के 3 सिक्के = 3 रुपए, 50p के 4 सिक्के = 2 रुपए। कुल मूल्य = 3 + 2 = 5 यूनिट।

चरण 2: 5 यूनिट = 45 रुपए ⇒ 1 यूनिट = 9

चरण 3: कुल सिक्कों का अनुपात = 3 + 4 = 7 यूनिट।

कुल सिक्के = 7 × 9 = 63 सिक्के

उत्तर: 63

5. आय और व्यय (Income and Expenditure)

Formula: आय (Income) – बचत (Savings) = खर्च (Expenditure)

उदाहरण 5.1:

A और B की आय का अनुपात 9:7 और खर्च का अनुपात 4:3 है। दोनों ₹2000 बचाते हैं। A की आय ज्ञात करें।

चरण 1: आय का अनुपात (9:7) और खर्च का अनुपात (4:3) है। यहाँ ध्यान दें कि आय और खर्च के बीच दोनों तरफ यूनिट का अंतर समान नहीं है, इसलिए हम क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन (Cross Product Rule) का प्रयोग करेंगे।

आय का वज्रगुणन: 9 × 3 = 27 और 7 × 4 = 28 ⇒ अंतर = 28 – 27 = 1 यूनिट

चरण 2: खर्च और बचत का वज्रगुणन: 4 × 2000 = 8000 और 3 × 2000 = 6000 ⇒ अंतर = 8000 – 6000 = 2000 रुपए

चरण 3: दोनों अंतरों को एक-दूसरे के बराबर रखें: 1 यूनिट = 2000 रुपए

A की आय (9 यूनिट) = 9 × 2000 = 18,000 रुपए

उत्तर: 18,000 रुपए

उदाहरण 5.2:

आय 3:2, खर्च 5:3 है। बचत क्रमशः ₹1000 और ₹900 है। A की आय क्या होगी?

चरण 1: जब बचत अलग-अलग हो, तब भी क्रॉस प्रोडक्ट विधि सबसे तेज काम करती है।

आय-खर्च का क्रॉस गुणा: (3 × 3) – (2 × 5) = 9 – 10 = 1 यूनिट अंतर

चरण 2: खर्च-बचत का क्रॉस गुणा: (5 × 900) – (3 × 1000) = 4500 – 3000 = 1500 रुपए अंतर

चरण 3: 1 यूनिट का मान 1500 रुपए आ गया।

A की आय (3 यूनिट) = 3 × 1500 = 4500 रुपए

उत्तर: 4500 रुपए

उदाहरण 5.3:

A और B की आय का अनुपात 2:3 है। खर्च 1:2 है। यदि B ₹3000 बचाता है और उसकी आय ₹6000 है, तो A की बचत क्या होगी?

चरण 1: B की आय 3 यूनिट = 6000 रुपए है, तो 1 यूनिट = 2000 रुपए। इसके आधार पर A की आय निकालें (2 यूनिट = 4000 रुपए)।

चरण 2: B की बचत ₹3000 है। अतः B का खर्च = आय – बचत = 6000 – 3000 = 3000 रुपए।

चरण 3: खर्च के अनुपात में B = 2 यूनिट = 3000 रुपए है, तो 1 यूनिट (A का खर्च) = 1500 रुपए होगा।

A की बचत = A की आय – A का खर्च = 4000 – 1500 = 2500 रुपए

उत्तर: 2500 रुपए

6. मिश्रण (Mixture and Alligation)

उदाहरण 6.1:

60 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 2:1 है। कितना पानी और मिलाएं कि अनुपात 1:2 हो जाए?

चरण 1: कुल मिश्रण 60 लीटर में दूध और पानी की प्रारंभिक मात्रा निकालें (2 + 1 = 3 यूनिट = 60 ⇒ 1 यूनिट = 20)।

दूध = 40 लीटर, पानी = 20 लीटर

चरण 2: चूंकि केवल पानी मिलाया जा रहा है, इसलिए दूध की मात्रा (40 लीटर) नए अनुपात में भी समान रहेगी। नए अनुपात में दूध का हिस्सा 1 यूनिट है।

1 यूनिट = 40 लीटर। तो नया पानी (2 यूनिट) = 2 × 40 = 80 लीटर होना चाहिए।

चरण 3: मिलाया गया पानी = नया पानी – पुराना पानी = 80 – 20 = 60 लीटर।

उत्तर: 60 लीटर

उदाहरण 6.2:

दो बर्तनों में दूध:पानी क्रमशः 5:2 और 8:5 है। इन्हें किस अनुपात में मिलाया जाए कि नया अनुपात 9:4 हो?

चरण 1: मिश्रण के नियम (Alligation) को किसी एक तत्व (जैसे केवल दूध) पर लगाएं।

पहले बर्तन में दूध का भाग = 5/7, दूसरे में = 8/13, और मिश्रण में = 9/13

चरण 2: ऑलिंगेशन का क्रॉस अंतर निकालें:

दाहिनी ओर का अंतर: \( \frac{9}{13} – \frac{8}{13} = \frac{1}{13} \)

बाईं ओर का अंतर: \( \frac{5}{7} – \frac{9}{13} = \frac{65 – 63}{91} = \frac{2}{91} \)

चरण 3: इन दोनों का अनुपात ज्ञात करें: \( \frac{1}{13} : \frac{2}{91} \)

91 को ऊपर भेजने पर: 7 : 2 प्राप्त होगा।

उत्तर: 7:2

उदाहरण 6.3:

40 लीटर मिश्रण में 10% पानी है। कितना पानी मिलाएं कि मिश्रण में 20% पानी हो जाए?

चरण 1: यदि पानी मिलाया जा रहा है, तो दूसरा तत्व (दूध या अन्य) स्थिर रहेगा। प्रारंभिक मिश्रण में स्थिर तत्व = 90% है। नए मिश्रण में स्थिर तत्व = 80% होगा।

चरण 2: माना नया कुल मिश्रण V है। स्थिर तत्व की मात्रा बराबर रखने पर:

40 × 90% = V × 80%

V = (40 × 90) / 80 = 45 लीटर

चरण 3: मिलाए गए पानी की मात्रा = नया कुल मिश्रण – पुराना मिश्रण = 45 – 40 = 5 लीटर।

उत्तर: 5 लीटर

7. संख्या जोड़ना या घटाना (Addition/Subtraction)

उदाहरण 7.1:

दो संख्याएं 3:5 के अनुपात में हैं, प्रत्येक में से 9 घटाने पर वे 12:23 हो जाती हैं। संख्याएं ज्ञात करें।

चरण 1: अनुपात 3:5 (अंतर = 2) और 12:23 (अंतर = 11) हैं। अंतर बराबर करने के लिए पहले अनुपात को 11 से और दूसरे को 2 से गुणा करें:

नया पहला अनुपात = 33 : 55, नया दूसरा अनुपात = 24 : 46

चरण 2: अब दोनों तरफ अनुपात में समान कमी देखें: 33 से 24 (9 यूनिट की कमी) और 55 से 46 (9 यूनिट की कमी)।

अनुपात की 9 यूनिट = वास्तविक घटाई गई संख्या 9 के बराबर है ⇒ 1 यूनिट = 1

चरण 3: मूल संख्याएं 33 और 55 यूनिट थीं, जिनका मान क्रमशः 33 और 55 ही होगा।

उत्तर: 33 और 55

उदाहरण 7.2:

तीन कक्षाओं के छात्रों का अनुपात 2:3:5 है। प्रत्येक में 40 छात्र बढ़ने पर यह 4:5:7 हो जाता है। शुरुआत में कुल छात्र कितने थे?

चरण 1: अनुपातों में हुई वृद्धि देखें: 2 से 4, 3 से 5, और 5 से 7। सभी में समान रूप से 2 यूनिट की वृद्धि हुई है।

चरण 2: यह 2 यूनिट की वृद्धि प्रत्येक कक्षा में बढ़े 40 छात्रों के बराबर है।

2 यूनिट = 40 छात्र ⇒ 1 यूनिट = 20 छात्र

चरण 3: शुरुआत में कुल छात्रों का योग = 2 + 3 + 5 = 10 यूनिट था।

कुल छात्र = 10 × 20 = 200 छात्र

उत्तर: 200

उदाहरण 7.3:

दो संख्याएं 1:2 में हैं, प्रत्येक में 7 जोड़ने पर वे 3:5 के अनुपात में हो जाती हैं। बड़ी संख्या क्या है?

चरण 1: समीकरण विधि या अंतर बराबर विधि का प्रयोग करें। 1:2 (अंतर = 1) को दूसरे के अंतर (2) से गुणा करने पर नया अनुपात 2:4 हो जाएगा।

चरण 2: नया अनुपात 2:4 से बढ़कर 3:5 हो रहा है, यानी वृद्धि 1 यूनिट की है।

1 यूनिट = 7

चरण 3: अनुपात (2:4) में बड़ी संख्या 4 यूनिट है:

बड़ी संख्या = 4 × 7 = 28

उत्तर: 28

8. राशि का बँटवारा (Amount Distribution)

उदाहरण 8.1:

₹750 को A, B, C में इस प्रकार बांटें: A:B = 5:2 और B:C = 7:13।

चरण 1: तीनों का संयुक्त अनुपात (A:B:C) ज्ञात करें। B को समान करने पर हमें संयुक्त अनुपात प्राप्त होगा:

A:B:C = 35 : 14 : 26

चरण 2: अनुपातों का कुल योग = 35 + 14 + 26 = 75 यूनिट। यह ₹750 के कुल धन के बराबर है।

75 यूनिट = 750 ⇒ 1 यूनिट = 10 रुपए

चरण 3: प्रत्येक का हिस्सा निकालें:

A = 35 × 10 = ₹350, B = 14 × 10 = ₹140, C = 26 × 10 = ₹260

उत्तर: A=350, B=140, C=260

उदाहरण 8.2:

₹680 को इस प्रकार बांटे कि A को B का 2/3 और B को C का 1/4 मिले। C का हिस्सा क्या होगा?

चरण 1: भाषा के अनुसार अनुपात बनाएं: A = B × 2/3 ⇒ A:B = 2:3। इसी प्रकार B = C × 1/4 ⇒ B:C = 1:4।

चरण 2: संयुक्त अनुपात (A:B:C) निकालें: B को समान करने पर अनुपात 2 : 3 : 12 बनेगा।

कुल योग = 2 + 3 + 12 = 17 यूनिट।

17 यूनिट = 680 रुपए ⇒ 1 यूनिट = 40 रुपए

चरण 3: C का हिस्सा 12 यूनिट है:

C का धन = 12 × 40 = 480 रुपए

उत्तर: ₹480

उदाहरण 8.3:

₹910 को 1/2 : 1/3 : 1/4 के अनुपात में बांटने पर A का हिस्सा क्या होगा?

चरण 1: भिन्नात्मक अनुपात को सरल पूर्णांक अनुपात में बदलने के लिए हरों (2, 3, 4) के LCM यानी 12 से तीनों पदों में गुणा करें।

अनुपात = (1/2 × 12) : (1/3 × 12) : (1/4 × 12) = 6 : 4 : 3

चरण 2: अनुपातों का योग = 6 + 4 + 3 = 13 यूनिट।

13 यूनिट = 910 रुपए ⇒ 1 यूनिट = 70 रुपए

चरण 3: A का हिस्सा 6借 यूनिट है:

A का धन = 6 × 70 = 420 रुपए

उत्तर: ₹420