Simple and Compound Interest (साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज)

Simple and Compound Interest यानि साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज के सवाल बैंकिंग, एसएससी और रेलवे जैसी परीक्षाओं में अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं। इस गाइड में हम ब्याज की गणना के दोनों तरीकों—Simple Interest (SI) और Compound Interest (CI)—को गहराई से समझेंगे।

बुनियादी शब्दावली (Basic Terminology)

Principal (P – मूलधन): वह राशि जो उधार ली या दी जाती है।
Rate (R – दर): ब्याज की प्रतिशत दर (प्रति वर्ष)।
Time (T – समय): वह अवधि जिसके लिए राशि उधार दी गई है।
Amount (A – मिश्रधन): मूलधन और ब्याज का कुल योग (A = P + Interest)।

1. साधारण ब्याज (Simple Interest – SI)

Concept: साधारण ब्याज में ब्याज केवल मूलधन (Principal) पर ही लगता है। हर साल ब्याज की राशि बिल्कुल समान रहती है।

\( SI = \frac{P \times R \times T}{100} \)

उदाहरण 1.1:

₹5000 की राशि पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष का साधारण ब्याज ज्ञात करें।

चरण 1: सूत्र में दिए गए मान रखें: P = 5000, R = 10, T = 3

\( SI = \frac{5000 \times 10 \times 3}{100} \)

चरण 2: हर के दो शून्य (100) से अंश के दो शून्य काटें:

SI = 50 × 10 × 3 = 50 × 30 = 1500 रुपये

उत्तर: ₹1500

उदाहरण 1.2:

कोई राशि साधारण ब्याज की किस दर से 5 वर्ष में दुगुनी (Double) हो जाएगी?

चरण 1: यदि राशि दुगुनी होती है, तो इसका मतलब ₹100 बढ़कर ₹200 हो गए। यहाँ मूलधन (P) = 100, और ब्याज (SI) = 200 – 100 = 100 होगा।

चरण 2: दर निकालने का शॉर्टकट सूत्र: \( R = \frac{100(n-1)}{T} \) (जहाँ n गुना का मान = 2 है)

R = \( \frac{100 \times (2 – 1)}{5} = \frac{100 \times 1}{5} \)

R = 20% वार्षिक

उत्तर: 20%

उदाहरण 1.3:

साधारण ब्याज पर कोई राशि 4 वर्ष में ₹6000 और 6 वर्ष में ₹7000 हो जाती है। मूलधन क्या है?

चरण 1: समय का अंतर = 6 – 4 = 2 वर्ष। मिश्रधनों का अंतर = 7000 – 6000 = 1000 रुपये। यह 1000 रुपये 2 वर्ष का साधारण ब्याज है।

चरण 2: 1 वर्ष का ब्याज = 1000 / 2 = 500 रुपये। अतः 4 वर्ष का ब्याज = 500 × 4 = 2000 रुपये।

चरण 3: मूलधन (P) निकालने के लिए 4 वर्ष के मिश्रधन (6000) में से 4 वर्ष का ब्याज घटा दें:

P = मिश्रधन – ब्याज = 6000 – 2000 = 4000 रुपये

उत्तर: ₹4000

2. चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest – CI)

Concept: चक्रवृद्धि ब्याज में ब्याज पर भी ब्याज मिलता है। हर साल का मिश्रधन (Amount) अगले साल के लिए मूलधन बन जाता है।

\( A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T \) और CI = A – P

उदाहरण 2.1:

₹8000 की राशि पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें।

चरण 1: 5% और 5% का सक्सेसिव (AB फॉर्मूला) प्रभावी प्रतिशत दर निकालें:

प्रभावी दर = 5 + 5 + \( \frac{5 \times 5}{100} \) = 10 + 0.25 = 10.25%

चरण 2: मूलधन (8000) का सीधा 10.25% ज्ञात करें:

CI = 8000 × 10.25 / 100 = 80 × 10.25 = 820 रुपये

उत्तर: ₹820

उदाहरण 2.2:

₹10,000 की राशि 10% दर से 1.5 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज पर दी गई। यदि ब्याज छमाही (Half-yearly) संयोजित हो, तो ब्याज क्या होगा?

चरण 1: जब ब्याज छमाही संयोजित हो, तो वार्षिक दर को आधा और समय को दुगुना करते हैं।

नई दर (R) = 10% / 2 = 5% प्रति छमाही

नया समय (T) = 1.5 वर्ष × 2 = 3 छमाही

चरण 2: अब 5% दर और 3 समय चक्र के लिए मिश्रधन का सूत्र लगाएं (5% का भिन्न रूप = 1/20, बढ़कर 21/20):

A = 10000 × \( \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \)

A = 10000 × \( \frac{9261}{8000} \) = 1.25 × 9261 = 11576.25 रुपये

चरण 3: ब्याज (CI) = A – P = 11576.25 – 10000 = 1576.25 रुपये

उत्तर: ₹1576.25

उदाहरण 2.3:

कोई राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 4 वर्ष में दुगुनी (Double) हो जाती है। वह कितने वर्षों में 8 गुनी (8 times) हो जाएगी?

चरण 1: चक्रवृद्धि ब्याज में गुना घात (Power) के रूप में बढ़ता है।

2 गुनी (यानी \(2^1\)) होने में लगा समय = 4 वर्ष

चरण 2: अब हमें 8 गुनी करना है। 8 को 2 की घात के रूप में लिखें: 8 = \(2^3\)।

चरण 3: नया समय = प्रारंभिक समय × घात का मान

समय = 4 × 3 = 12 वर्ष

उत्तर: 12 वर्ष

3. SI और CI के बीच का अंतर (Difference Based)

Concept: परीक्षाओं में 2 और 3 वर्षों के लिए साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर पर सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं।

2 वर्ष के लिए अंतर (D) = \( P \left(\frac{R}{100}\right)^2 \)

3 वर्ष के लिए अंतर (D) = \( P \left(\frac{R}{100}\right)^2 \left(\frac{300 + R}{100}\right) \)

उदाहरण 3.1:

₹4000 की राशि पर 5% दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात करें।

चरण 1: 2 वर्ष के अंतर वाले सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ P = 4000, R = 5 है।

D = 4000 × \( (\frac{5}{100})^2 \)

D = 4000 × \( \frac{25}{10000} \)

चरण 2: सरल करने पर: D = 4 × 25 / 10 = 100 / 10 = 10 रुपये

उत्तर: ₹10

उदाहरण 3.2:

2 वर्ष के लिए 10% दर पर किसी राशि के CI और SI का अंतर ₹50 है। मूलधन ज्ञात करें।

चरण 1: सूत्र में मान रखें: D = 50, R = 10, P ज्ञात करना है।

50 = P × \( (\frac{10}{100})^2 \)

50 = P × \( \frac{1}{100} \)

चरण 2: वज्रगुणन (Cross Multiplication) करने पर:

P = 50 × 100 = 5000 रुपये

उत्तर: ₹5000

उदाहरण 3.3:

₹1000 पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर क्या होगा?

चरण 1: 3 वर्ष के अंतर वाले सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ P = 1000, R = 10 है।

D = 1000 × \( (\frac{10}{100})^2 \times (\frac{300 + 10}{100}) \)

D = 1000 × \( \frac{1}{100} \times \frac{310}{100} \)

चरण 2: शून्यों को आपस में काटने पर:

D = \( \frac{1000 \times 310}{10000} \) = 31 रुपये

उत्तर: ₹31